مهم جدا في رياضيات الثانوية العامة

الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
المصفوفات

مثال 1 : إذا كانت ا = , ب = , فجد :



1. ا × ب 2. ا-1 3. ا × ب 4. 2 ا - ب
الحل:

1. ا × ب = × =




2. ا = = 3 × 0 - 4 × -1 = 0 - -4 = 0 + 4 = 4  صفر B ا مصفوفة غير منفردة أي لها نظير ضربي



ا-1 = =


3. ا × ب = ا × ب = 4 × 0 = 0

ملاحظة : يمكنك حل هذا السؤال وذلك بإيجاد ا × ب ثم إيجاد المحدد لها.

4. هنا لا بد أولاً من إيجاد 2 ا - ب ثم إيجاد المحدد . كالتالي:

2 ا - ب = 2 - = - =



B 2 ا - ب = = 4 × 6 – 12 × -3 = 24 - -36 =24 + 36 = 60






صفحــــــــ 1ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال 2 : حل المعادلات المصفوفة التالية:


1. ل 2س – 1 ) =
3


2. -3س - =- 4 س + المصفوفة الصفرية




الحل:

1. × 2 س + =


G - س + =



G - س = - = G س =




2. – 3 س - =- 4 س +



G - 3 س - = -4 س + G – 3 س + 4 س = +



G س =



لاحظ أن احد المصفوفات هو نظير للأخرى لذلك فحاصل ضربهما يعطي المصفوفة المحايدة.
( أي انه : ا × ا-1 = ا-1 × ا = م )
كذلك لاحظ أن رتبة المصفوفة الصفرية يجب أن تكون 2 × 2 حتى يجوز إجراء الجمع ( الطرح ) في المصفوفات.




صفحــــــــ 2ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال3 : جد قيمة \ قيم س التي تجعل المصفوفة التالية منفردة .


ا =



الحل : A ا مصفوفة منفردة G ا = صفر 0 G = صفر


G س ( س – 3 ) – 10 = 0
G س2 - 3س – 10 = 0
G ( س – 5 ) ( س + 2 ) = 0
G س = 5 أو س = -2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ
مثال4 : إذا كانت

= فجد قيمة \ قيم س؟



الحل:



= G س - 2 + 1 =-10 - -1



G س ( 2س – 0 ) – 2 ( 6 – 0 ) + 1 ( -3 – 4 س ) = - 9
G س ( 2 س ) – 2 ( 6 ) - 3 – 4 س = - 9
G 2 س2 – 12 – 3 – 4 س = - 9 G2 س2 – 15 – 4 س = - 9 G 2 س2 – 4 س -15 + 9 = 0
G 2س2 – 4 س – 6 = 0 G س2 – 2 س – 3 = 0 G ( س - 3 ) ( س + 1 ) = 0 G س = 3 أو س = -1

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال5 : إذا كانت

= , فجد قيمة كل من س , ص , م .


الحل: A المصفوفتان متساويتان فان كل مدخلة في المصفوفة الأولى تساوي نظيرها في المصفوفة الثانية.
G س = -4 , ص + 1 = -2 G ص = -3 , م = 3
-1 -1
صفحــــــــ 3ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال5 : إذا كانت

= , فجد قيمة س , ص .



الحل: G س – ص = 3 ............. (1)
س + ص = 5 ............. (2)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2 س = 8 G س = 4 ( وذلك بجمع المعادلتين (1) , (2) ثم القسمة على معامل س )
وبتعويض قيمة س في احد المعادلتين نحصل على:
4 - ص = 3
-4 -4
G – ص = - 1 G ص = 1 ( حيث قمنا بتعويض قيمة س في (1) )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال6 : إذا كان

ا = , ب = , فجد قيمة 511 ا + 511 ب – 510 (ا + ب) .


الحل: 511 ا + 511 ب – 510 (ا + ب) = 511 ا + 511 ب – 510 ا – 510 ب
= 511 ا – 510 ا + 511 ب – 510 ب
= ا + ب


= +




= 0


ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال7 : إذا كانت ا مصفوفة مربعة من الرتبة الثانية , حيث ا = 4 , فجد 3 ا .

الحل: 3 ا = 3 2 ا = 9 × 4 = 36 .

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال8 : حل المعادلة المصفوفية 2 س - ص = ص2 . حيث
ص = .

صفحــــــــ 4ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحل :

2س – ص = ص2 G 2 س = ص2 + ص


لكن ص2 = ص × ص = × =



B 2 س = +



B 2 س =




B س =



B س =


ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال9 : حل المعادلة المصفوفية

س × =



الحل: في مثل هذه الأنماط من التمارين نستخدم النظير الضربي في الحل. ولذلك بفرض ا =

ا = 2 × 4 – 7 × 1 = 8 – 7 = 1 { 0 G لها نظير ضربي

ا-1 = , الآن نقوم بضرب طرفي المعادلة من اليسار( لان المصفوفة موجودة على يسار المتغير س) بنظير ا .



G س = G س =


صفحــــــــ 5ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة:العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال10 : جد رتبة المصفوفة س في كل مما يلي بحيث تستطيع القيام بالعملية المحددة :

(1) ا 3×2 0 ب2× 3 = س
(2) ا 3 × 4 0 س = ب3 × 5
(3) س 0 ا 4 × 2 = ب 4 × 2
الحل: (1) س 3 × 3 (2) س 4 × 5 (3) س 4 × 4

تذكر : انه يمكن إجراء عملية ضرب المصفوفات مثل ا , ب إذا كان عدد أعمدة المصفوفة ا يساوي عدد صفوف المصفوفة ب .
والناتج تكون رتبته : عدد صفوف المصفوفة ا × عدد أعمدة المصفوفة ب . أي انه : ا م × ن 0 ب ن × ل = ج م × ل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال11 :

إذا كان = , فجد قيمة س .


الحل: بإجراء عملية الضرب للمصفوفتين في الطرف الأيمن نحصل على :


=


B 2 س – 3 = 1
+ 3 + 3 G 2 س = 4 G س = 2 ( وذلك بالقسمة على معامل س )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال12 : استخدم طريقة النظير الضربي في حل نظام المعادلات الخطي التالي :

2س = 9 - ص
- ص = س

الحل : نعيد ترتيب المعادلتين بحيث تكون المتغيرات على احد الجهات والثوابت على الجهة الأخرى كالتالي :
2س = 9 - ص
+ ص + ص
B 2 س + ص = 9
وكذلك نعيد ترتيب الثانية كالتالي : - ص = س
- س - س

B - س – ص = 0


= G بفرض ا = وبإيجاد النظير الضربي لها نجد أن :


صفحــــــــ 6ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ا = - 2 – (- 1) = -2 + 1 = -1

G ا-1 = - = وبضرب طرفي المعادلة المصفوفية نظير ا من اليمين نحصل على :




= G = G س = 9 , ص = -9


ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال13 : حل نظام المعادلات التالي باستخدام طريقة كريمر:
2 س – 3 ص = 3
3 س + ص = 10

الحل :


=



بفرض
ا = , ا = 2 - ( -9 ) = 2 + 9 = 11 . ا س = = 3 + 30 = 33




ا ص = = 20 – 9 = 11 .


B س = = 3 , ص = = 1

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مثال14 : حل المعادلة المصفوفية التالية :



× 2 س × =



صفحــــــــ 7ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحل :

نفرض ا = G ا = 5 – 4 = 1 G ا-1 =



G 2 س × = ×



G 2 س × =




نفرض ب = , ب = 16 – 15 = 1 G ب-1 =



G 2 س = × =



G س =


ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال15 :
إذا كان ا-1 = , ب-1 = , فجد : 1. (ا × ب )-1 . 2. (ا-1)-1


الحل :
1. (ا × ب )-1 = ب-1 × ا-1 = × =


2. ا-1 = 4 – (-3) = 4 + 3 = 7 { 0 G لها معكوس ( نظير ضربي )


ا = (ا-1)-1 =


صفحــــــــ 8ــــــــــة

بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال16 :
إذا كان ا = 3 , ب = 4 , فاحسب ا × ب .


الحل : ا × ب = ا × ب = 3 × 4 = 12 .

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال17 : هل عملية ضرب المصفوفات تبديلية ؟

الحل : لا .
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال18 :
إذا كانت ا = , ب = , ج = , فجد ( إن أمكن) ما يلي :


1. ا + 2 ب 2. 3 ب - ج 3. ا × ج 4. ( 4 ا )-1 5. حل المعادلة: - ا + س = ب

الحل : 1. ا + 2 ب = + 2 = +



=


2. 3 ب - ج = لا يمكن إجراء العملية ( العملية غير معرفة ) , لان رتبة ب { رتبة ج .
ا
3. ا × ج = × =


4. ( 4 ا )-1 = ا-1 , لكن ا-1 =

G ( 4 ا )-1 = 0


= = يمكنك إدخال الكسر على المصفوفة .

5. - ا + س = ب G س = ب + ا = + =

( تذكر أن عملية جمع المصفوفات تبديلية.)
صفحــــــــ 9ــــــــــة

بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هنا مجمع أسئلة السنوات السابقة للمنهاج الفلسطيني بحسب العام الدراسي الذي وردت فيه . ولنبدأ تنازلياً ....... على بركة الله.........

أولاً : ســـــ2010ــــنة
س1 :
(*) إذا كانت س مصفوفة بحيث أن س × = فان س تساوي :


الإجابة : ب , لأنها يجب أن تكون محايدة..... لاحظ أن ا × م = ا

(* *) قيمة ص التي تجعل المصفوفة منفردة هي :


الإجابة : د . تذكر/ي أن المصفوفة المنفردة هي المصفوفة التي محددتها تساوي صفر. ولذلك 3 ص – 24 = 0
+24 +24
3ص = 24
B ص = 8
س2 :
(أ) إذا كانت ا = , ب = , جد : 1) ا-1 2) ا × ب


الحل : ا = 6 – ( -2) = 6 + 2 = 8 { 0 G لها نظير ضربي .


ا-1 = = ندخل الكسر على المصفوفة .



ا × ب = ا × ب = 8 × 2 = 16

س3 : (أ) مدرج ضمن الأمثلة ( مثال 13 : صفحــــــــــــ7ــــــــة )

س4 :

إذا كان = 8 , فما قيمة س .


الحل:



= 1 - (-1) + 2 = 8
صفحــــــــ 10ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
G 1 ( 6 س - 0 ) + 1 ( 30 – 12 ) + 2( 0 – 4 س ) = 8

G 6 س + 18 – 8 س = 8

G - 2 س = -10

G س = 5
س5 :
( أ )إذا كانت ا = وكانت 2 ا + س = م2 0 اوجد المصفوفة س .


الحل : 2 ا + س = م2 G س = م2 - 2 ا G س = - 2


G س = -




G س = +





G س = .




.................................................................................................................................................................................

إعداد : احمد رياض محمود ياسين جوالــــــ0597925014ـــــــــــــ1
بكالوريوس رياضيــــــــــــــــات جوالــــــ0598205776ـــــــــــــ2
جامعة النجاح الوطنيـــــــــــــــة مركز بلدنـــــــــــــــــــــــــــــــا

بلدنا هو مركز علمي هادف ومنافس للجميع ..... بدل 50 في الرياضيات !!! لماذا لا تحصل على 90 أو مئة بالمئة.



صفحــــــــ 11ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ثانياً : ســـــ2009ــــنة
س1 :
(*) احد المصفوفات التالية ليس لها نظير ضربي:


أ) ب) ج) د)



الإجابة : ج . حيث المصفوفة التي ليس لها نظير ضربي تكون محددتها تساوي صفر


(**) إذا كانت = فان قيمة ص تساوي:


أ) -2 ب ) 2 ج) -4 د) 4

الإجابة: س – 2 = 2 G س = 2 + 2 G س = 4 , لكن س + ص = 2 G 4 + ص = 2 G ص = -2 G أ .

(***) إذا كانت ا , ب مصفوفتان ثنائيتان , فان إحدى العبارات التالية صحيحة :

أ) ا + ب = ا + ب ب) عملية ضرب المصفوفات تبديلية


ج) ا × ب = ا × ب د) إذا كانت ا ب = ب ا , فان ا هي نظير ب الضربي.

الإجابة : ج .
ملحوظة : تصبح العبارة د صحيحة إذا كانت ا ب = ب ا = المصفوفة المحايدة .


س2 : إذا كانت ا = , ب = جد : 1. ا × ب 2. ا - ب


الحل : 1. ا × ب = × =


2. نجد أولا ا - ب = - = ثم نجد المحدد G ا - ب = 2- (-2) = 4




صفحــــــــ 12ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : ج ) استخدم قاعدة كريمر لحل نظام المعادلات التالي : س + 2 ص = 5
3س – ص = 1

الحل:

=



نفرض ا =



ا = -1 – 6 = - 7


اس = = -5 – 2 = - 7 , ا ص = = 1 – 15 = -14

B
س = = 1 , ص = = 2


س4 :
ب) إذا علمت أن = - 4 , فما قيمة س .




الحل :
= س - 1 + 3 = - 4



G س ( 0 - -4 ) – 1 ( 0- -4 ) + 3 ( -2 - -10 ) = -4

G 4 س – 4 +24 = -4 G 4 س = -4 + 4 – 24 G 4 س = - 24 G س = - 6 .

إعداد : احمد رياض محمود ياسين جوالــــــ0597925014ـــــــــــــ1
بكالوريوس رياضيــــــــــــــــات جوالــــــ0598205776ـــــــــــــ2
جامعة النجاح الوطنيـــــــــــــــة مركز بلدنـــــــــــــــــــــــــــــــا


صفحــــــــ 13ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س5 :
إذا كانت ا = جد : ( 2 ا )-1 .

الحل :

الطريقة الأولى : ا = 6 - -1 = 7 { 0

G ا - 1 = =






( 2 ا )-1 = ا-1 = =





الطريقة الثانية : نجد 2 ا ثم نجد محددتها لإيجاد نظيرها الضربي.

س6 :
ب) حل المعادلة المصفوفية : 2 ( 3 س + ) = س +


الحل : نبدأ بإدخال العدد 2 على القوس
G 6 س + 2 = س +



G 6 س – س = - 2 = - =





G 5 س = G س = =




صفحــــــــ 14ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ثالثاًً : ســــ2008ــــنة

س1 :
(*) إذا كانت س = فان رتبة س =


أ ) 2 × 3 ب) 3 × 2 ج) 6 د) غير ذلك

الإجابة : أ .

(**) إذا كانت ا = , ب = , فان 2 ا + ب = ...

الإجابة :

2 ا + ب = 2 + = B الإجابة د .

( ***) المصفوفة المنفردة من بين المصفوفات الآتية :

الإجابة : نحسب محدد كل مصفوفة والتي تكون محددتها صفر تكون هي المنفردة ولذلك فالإجابة هي ب .

س2 : اوجد قيمة كل من س , ص في المعادلة المصفوفية الآتية :



=



الحل : س – 1 = 5 G س = 5 + 1 = 6 B س = 6 أو س + 7 = 13 G س = 13 - 7 = 6
ص2 = 9 G ص =  3


س3 : أ) حل النظام التالي باستخدام النظير الضربي : س = ص + 1
2 س + ص = 2

الحل:
= G = = =



B س = 1 , ص = 0



صفحــــــــ 15ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س4 :

أ) إذا كان = صفر , اوجد قيمة/ قيم س .



الحل :

= س ( س – 1 ) – 2 = 0 G س2 - س – 2 = 0 G (س - 2 )( س + 1 ) = 0


G س = 2 أو س = -1

س5 : ج) حل المعادلة المصفوفية الآتية :

2 س + = صفر


الحل: 2 س = صفر - = G س =





رابعاًً : ســــ2007ــــنة

س1 : (*) إذا كانت س = , ص = , فان محدد س + محدد ص = (الإجابة: 8 + -2 = 6(ج) )


(**) واحد فقط من العبارات التالية صحيحة:
أ) عملية ضرب المصفوفات عملية تبديلية.
ب) إذا كان أ , ب مصفوفتين غير صفريتين فان أ × ب مصفوفة غير صفرية أيضا .
ج) إذا كانت أ مصفوفة منفردة فان 2 أ مصفوفة منفردة أيضا .
د) إذا كان أ ب = ب أ فان أ هي النظير الضربي للمصفوفة ب .
الإجابة: ج .

س2: ما قيمة \ قيم س التي تجعل =


الحل : -2( س – 1 ) – 20 = -10 – 6 C-2 س +2 – 20 = -16 C – 2 س = - 16 – 2 + 20 = 2 C س = -1


إعداد الأستاذ : أحمد رياض محمود ياسين ( أبو اليزيد ) / بكالوريوس رياضيات / جامعة النجاح الوطنية /
مركزكم وبيتكم .... مركز بلدنا .... بإدارة : أبو اليزيــــــــــــد

صفحــــــــ 16ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 :

ج) إذا كانت س = , ص = , ع = , بين أن : (س × ص) = ع -1 .



الحل: نأخذ الطرف الأيمن لحساب س × ص = × =



نأخذ الطرف الأيسر لحساب ع -1 . نجد ع = 4 – 2 = 2 { 0

C ع -1 = = ( س × ص)



B الطرفان متساويان ..
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
بعض الأسئلة المناطقية على المصفوفات للاختبار بتاريخ 30 / 12 / 2009

1. إذا كانت س , ص , ع ثلاث مصفوفات بحيث : س × ص = ع وكانت رتبة ص = 4 × 2 , رتبة ع = 3 × 2 فان رتبة س هي:
الحل: س × ص 4 × 2 = ع 3 × 2 C رتبة س = 3 × 4 .
2. إذا كانت ا مصفوفة منفردة فان - 4 ا + 2 =
الحل: قيمة المطلوب = 0 + 2 = 2 ( لان المصفوفة ا منفردة فتكون محددتها صفرا )
3. إذا كانت ع مصفوفة غير منفردة من الرتبة الثانية فان : (- 3 ع ) – 1 =
الحل:
× ع – 1 . وذلك حسب القاعدة : إذا كانت س مصفوفة غير منفردة من الرتبة الثانية فان (ا س) – 1 = س-1

4. إذا كانت ا = فان ا 2 =

الحل :
ا 2 = ا × ا G ا 2 = × =

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س 2 : جد قيمة ( قيم ) س فيما يلي :



+ × س = 14 .

الحل : المقدار في الطرف الأيمن = س 2 + 8 + ( 3 + 2 ) س = 14 G س 2 + 5 س – 6 = 0 G ( س – 1) (س + 6) = 0
G س = 1 أو س = - 6 .
صفحــــــــ 17ــــــــــة
بسم الله الرحمن الرحيم
المبحث: الرياضيات إعداد: احمد رياض ياسين
المرحلة: العلوم الإنسانية مركز بلدنا جوال: 0597925014
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س 2 :
إذا علمت أن س -1 = , ص = اوجد ( ص × س -1 ) + س


الحل : ص × س -1 = × =



نعلم أن : س = (س – 1) -1 إذن لإيجاد س نجد نظير س -1 .

س -1 = -2 + 4 = 2 { 0

س = =



( ص × س -1 ) + س = + =


ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س 3 :


إذا علمت أن = فجد قيمة/ قيم س الممكنة .



الحل :


=




G 1 - 2 + 0 =


G 1(12 – 5) – 2(3س - - 1) + 0 = س 2 – 2 G7 – 6س – 2 = س 2 – 2 G س 2 + 6 س – 7 = 0

G(س - 1 ) (س + 7 ) = 0

G س = 1 أو س = -7
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

صفحــــــــ 18ــــــــــة

بارك الله فيك وجزاك الله خير